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In astronomia, si definiscono equinozi i due istanti nel corso dell'anno in cui il Sole si presenta all'intersezione tra l'eclittica e l'equatore celeste, (il Sole si trova perpendicolare all'equatore e la separazione tra zona illuminata e zona in ombra della Terra passa per i poli).

Anno Equinozio di Primavera Equinozio d'Autunno

2000 20 Mar 07:35 22 Set 17:27
2001 20 Mar 13:31 22 Set 23:04
2002 20 Mar 19:16 23 Set 04:55
2003 21 Mar 01:00 23 Set 10:47
2004 20 Mar 06:49 22 Set 16:30
2005 20 Mar 12:33 22 Set 22:23
2006 20 Mar 18:26 23 Set 04:03
2007 21 Mar 00:07 23 Set 09:51
2008 20 Mar 05:48 22 Set 15:44
2009 20 Mar 11:44 22 Set 21:18
2010 20 Mar 17:32 23 Set 03:09
2011 20 Mar 23:21 23 Set 09:04
2012 20 Mar 05:14 22 Set 14:49
2013 20 Mar 11:02 22 Set 20:44
2014 20 Mar 16:57 23 Set 02:29
2015 20 Mar 22:45 23 Set 08:20
2016 20 Mar 04:30 22 Set 14:21
2017 20 Mar 10:28 22 Set 20:02
2018 20 Mar 16:15 23 Set 01:54
2019 20 Mar 21:58 23 Set 07:50
2020 20 Mar 03:49 22 Set 13:30


Definizione

La parola "equinozio" deriva dal latino"equi -noctis" e significa "notte uguale" al dì. La definizione puramente teorica di lunghezza del dì si riferisce all'intervallo di tempo compreso fra due intersezioni temporalmente consecutive del centro apparente del disco solare con l'orizzonte del luogo geografico.

Usando questa definizione, la lunghezza del dì risulterebbe di 12 ore.

In realtà, gli effetti di rifrazione atmosferica, il semidiametro e la parallasse solare fanno sì che negli equinozi la lunghezza del dì ecceda quella della notte.

Gli equinozi di marzo e settembre sono i due giorni dell'anno nei quali hanno inizio primavera e autunno.

Agli equinozi, intesi come giorni di calendario, il Sole sorge quasi esattamente ad est e tramonta quasi esattamente ad ovest; ma non esattamente, in quanto (per definizione) l'equinozio è un preciso istante che quindi può, al massimo, coincidere con uno dei due eventi, ma non prodursi due volte nell'arco di 12 ore.

Nell'emisfero settentrionale, l'equinozio di marzo (che cade il 20 o 21 marzo) è l'equinozio di primavera, e l'equinozio di settembre (che cade il 22 o il 23 settembre) è l'equinozio d'autunno; nell'emisfero meridionale, questi termini sono invertiti.

Gli equinozi possono essere considerati anche come punti nel cielo. Anche se la luce diurna nasconde le altre stelle, rendendo difficile vedere la posizione del sole rispetto agli altri corpi celesti, il Sole ha una posizione definita relativa alle altre stelle.

Mentre la Terra gira attorno al Sole, l'apparente posizione del Sole si sposta di un intero cerchio nel periodo di un anno.

Questo cerchio è chiamato eclittica, ed è anche il piano dell'orbita della Terra proiettato sulla sfera celeste.

Gli altri pianeti visibili ad occhio nudo (Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno) sembrano muoversi lungo l'eclittica poiché le loro orbite sono su un piano simile a quello della Terra.

L'altro cerchio nel cielo è l'equatore celeste, ovvero la proiezione dell'equatore terrestre sulla sfera celeste. Poiché l'asse di rotazione della Terra è inclinato rispetto al piano dell'orbita, l'equatore celeste è inclinato rispetto all'eclittica. Due volte l'anno, il Sole incrocia il piano dell'equatore terrestre.

Questi due punti sono gli equinozi.

Il punto dell'equinozio di primavera dell'emisfero settentrionale è anche chiamato punto vernale, punto dell'Ariete o punto gamma (γ). Mentre quello dell'equinozio d'autunno è anche chiamato punto della Bilancia (ω). Tuttavia, a causa della precessione degli equinozi, questi punti non si trovano più nella costellazione da cui prendono il nome.

L'istante nel quale il Sole passa attraverso ogni punto di equinozio può essere calcolato accuratamente, così l'equinozio è sempre e solo un particolare istante, piuttosto che un giorno intero.

Il percorso del Sole nell'equinozio a 0° di latitudine (all'equatore)

Il percorso del Sole nell'equinozio a 50° di latitudine


Il percorso del Sole nell'equinozio a 90° di latitudine (al Polo)

Comportamento del Sole

Agli equinozi il Sole sorge precisamente ad est e tramonta precisamente ad ovest, ovunque.
La lunghezza del dì eguaglia la lunghezza della notte.

Equinozio di marzo

• All'equatore il Sole sorge in linea verticale dall'orizzonte est fino allo zenit, e poi tramonta in linea verticale dallo zenit all'orizzonte ovest.
• Al Tropico del Cancro il Sole passa a sud, dove giunge alla sua massima altezza per quel giorno che è 66°33'
• Al Tropico del Capricorno il Sole passa a nord, dove giunge alla sua massima altezza per quel giorno che è 66°33'
• Al polo nord il Sole passa da una notte lunga 6 mesi ad un dì lungo 6 mesi.
• Al polo sud il Sole passa da un dì lungo 6 mesi ad una notte lunga 6 mesi.

Equinozio di settembre

• All'equatore il Sole sorge in circolo verticale dall'orizzonte est fino allo zenit, e poi tramonta in circolo verticale dallo zenit all'orizzonte ovest.
• Al Tropico del Cancro il Sole passa a sud, dove giunge alla sua massima altezza per quel giorno che è 66°33'
• Al Tropico del Capricorno il Sole passa a nord, dove giunge alla sua altezza massima per quel giorno che è 66°33'
• Al polo nord il Sole passa da un dì lungo 6 mesi ad una notte lunga 6 mesi.
• Al polo sud il Sole passa da una notte lunga 6 mesi ad un dì lungo 6 mesi.

Aspetti culturali

Nella lista che segue i termini equinozio di marzo e settembre riguardano le celebrazioni legate al mese (e quindi indipendenti dall'emisfero), i termini primavera e autunno riguardano quelle feste che dipendono dalla stagione (e dunque dall'emisfero).
• Sham El Nessim era un'antica festività egiziana le cui tracce risalgono a circa 4700 anni fa. Resta una delle feste pubbliche Egiziane, cade il lunedì e coincide con l'equinozio di primavera.
• I calcoli per il giorno di Pasqua nella chiesa Cristiana (la prima domenica dopo la prima luna piena contemporanea o successiva all'equinozio di marzo), usa la sua definizione specifica dell'equinozio - che capita sempre il 21 marzo. Il giorno di Pasqua può capitare al più presto il 22 marzo.
• L'equinozio di marzo segna il primo giorno dell'anno per una varietà di calendari, inclusi il calendario Iraniano, il calendario Bahá'í. Il festival Persiano (Iraniano) del Naw-Ruz viene celebrato in questo giorno. Nell'antica mitologia persiana, Jamshid, il re mitico della Persia, ascese al trono in questo giorno e ogni anno quest'evento viene commemorato con feste per due settimane. Queste feste rievocano la storia della creazione e l'antica cosmologia del popolo Iraniano e Persiano. È un giorno di festa anche per l'Azarbaijan, l'Afganistan, l'India, la Turchia, Zanzibar, l'Albania e diversi paesi dell'Asia Centrale, è festa anche per i Kurdi. È inoltre una festività Zoroastrina, è anche un giorno sacro per i seguaci della Fede Bahá'í e per i musulmani Ismaili Nizari comunemente chiamati come gli Aga Khanis.
• L'equinozio di settembre segna il primo giorno del Mehr o della Bilancia nel calendario Iraniano. È una delle festività iraniane chiamate Jashne Mihragan, o il festival della condivisione dell'amore nello Zoroastrismo.
• Durante l'equinozio di primavera si celebra il Sabbat Wiccan di Ostara (o Eostar) mentre durante l'equinozio di autunno si celebra il Sabbat Wiccan di Mabon.
• In Giappone il giorno dell'equinozio di primavera (marzo) (春分の日 Shunbun no hi) è una festa nazionale ufficiale che si trascorre visitando le tombe di famiglia e celebrando le riunioni di famiglia. In modo del tutto simile a settembre c'è un giorno dell'equinozio d'autunno (秋分の日 Shūbun no hi).
• Il primo giorno dell'anno per i Tamil e i Bengali segue lo zodiaco Hindu e sono celebrati rispetto al equinozio di primavera siderale (14 aprile). Quello Tamil viene festeggiato nello stato dell'India del Sud del Tamil Nadu, l'altro viene festeggiato in Bangladesh e nello stato dell'India dell'est del Bengala Ovest.
• Il giorno del Pianeta Terra venne celebrato inizialmente il 21 marzo 1970, giorno dell'equinozio. Attualmente è celebrato in diversi Stati il 22 aprile.
• In molti paesi arabi il Giorno della Madre viene celebrato nell'equinozio di marzo.
• L'equinozio di settembre era il primo giorno dell'anno nel calendario repubblicano francese, che venne usato dal 1793 al 1805. La Prima Repubblica Francese venne proclamata e la monarchia francese abolita il 21 settembre 1792 rendendo il giorno successivo (giorno dell'equinozio) il primo giorno dell'Era Repubblicana in Francia. L'inizio di ogni anno si doveva basare su calcoli astronomici (ovvero seguendo il vero corso del Sole e non la media degli altri calendari).
• Il festival del raccolto nel Regno Unito si celebra la domenica della Luna piena più vicina all'equinozio di settembre.
• Il festival di mezzo autunno si celebra il 15º giorno dell'8º mese lunare ed è una festa ufficiale in molti paesi dell'est asiatico. Dato che il calendario lunare non è in sincrono con il calendario gregoriano questa data può cadere un giorno qualsiasi tra la metà di settembre e l'inizio di ottobre.
• La Giornata Mondiale della Narrazione è una celebrazione globale dell'arte orale della narrazione che viene celebrata ogni anno durante l'equinozio di primavera nell'emisfero nord, mentre il primo giorno dell'equinozio di autunno nell'emisfero sud.

 


Il solstizio in astronomia è definito come il momento in cui il Sole raggiunge, nel suo moto apparente lungo l'eclittica, il punto di declinazione massima o minima. Il fenomeno è dovuto alla inclinazione dell'asse di rotazione terrestre rispetto all'eclittica; il valore di declinazione raggiunta coincide con l'angolo di inclinazione terrestre e varia con un periodo di 41000 anni tra 22.1° e 24.5°. Attualmente è di 23°27' e l'angolo è in diminuzione.
Il Sole raggiunge il valore massimo di declinazione positiva nel mese di giugno in occasione del solstizio di estate boreale, mentre raggiunge il massimo valore di declinazione negativa in dicembre, in occasione del solstizio di inverno boreale, corrispondente all'estate nell'emisfero australe.
Da un esame di una tabella dei tempi dei solstizi si può verificare che il fenomeno ritarda di circa sei ore ogni anno (5 ore, 48 minuti e 46 secondi per la precisione), salvo subire un nuovo riposizionamento indietro ogni quattro anni, in conseguenza degli anni bisestili, introdotti proprio per evitare un progressivo disallineamento delle stagioni con il calendario. A causa di queste variazioni può capitare che il solstizio astronomico cada nell'emisfero nord (emisfero boreale) il 20 o il 21 giugno per l'estate, o il 21 o 22 dicembre per l'inverno.

Dal punto di vista astronomico, il raggiungimento del solstizio causa una serie di fenomeni osservabili tra i quali:

Sole allo zenit ai tropici

Nella fascia di latitudini comprese tra il tropico del Cancro e il tropico del Capricorno, il Sole raggiunge lo zenit due volte l'anno. In altre parole, in ogni luogo compreso tra i tropici, per due giorni all'anno, il Sole è a perpendicolo al mezzogiorno locale (una meridiana non proietta ombra); all'equatore questo accade durante gli equinozi.
A differenza di quanto accade nella fascia tra i tropici, le località poste esattamente su uno dei due tropici sperimentano il fenomeno una sola volta e proprio in corrispondenza di uno dei due solstizi: il Sole è allo zenit a dicembre nelle località del tropico del Capricorno ed è allo zenit a giugno nei luoghi attraversati dal tropico del Cancro.
Il fenomeno invece non si verifica per le località poste tra uno dei tropici e il relativo polo geografico, in quanto in queste latitudini, il sole non raggiunge mai lo zenit.

Massima o minima altezza sull'orizzonte

Ogni giorno, il Sole compie un cammino apparente nel cielo che lo porta alla massima altezza rispetto all'orizzonte in un istante che prende il nome di mezzogiorno locale. Il giorno del solstizio di estate, al mezzogiorno locale, il Sole nei luoghi non compresi tra i tropici raggiunge la massima altezza sull'orizzonte possibile per quella latitudine.

Il Sole di mezzanotte

Nelle località comprese tra i circoli polari e i poli, il Sole rimane tutto il giorno sopra l'orizzonte durante l'estate, quindi anche a mezzanotte. La durata di questo fenomeno dipende dalla latitudine: ai poli (90° di latitudine) il Sole non tramonta per metà dell'anno, a 80° per 71 giorni consecutivi, a 70° per 17 giorni. Il solstizio d'estate è l'unico giorno in cui il Sole non tramonta per le località poste sul circolo polare (66° 33' 38" di latitudine), latitudine limite inferiore di visibilità del fenomeno.

Durata del dì e della notte

I giorni del solstizio sono quelli in cui si ha il massimo o il minimo di ore di luce. A causa di vari fenomeni valutati tramite l'equazione del tempo, quali l'eccentricità dell'orbita terrestre e altri, il solstizio non è il giorno in cui si ha l'alba o il tramonto più anticipati o ritardati e non coincide con i giorni nei quali la Terra è all'afelio o al perielio.

 

 

Questi video spiegano i principali movimenti del pianeta Terra,

Non e' in scala ma rende l'idea di come ci muoviamo nell' universo.

Rotazione - Rivoluzione

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Precesione - Nutazione

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La precessione astronomica impiega circa 26000 anni a fare un giro completo.


In astronomia, l'afelio (dal greco αφήλιον, da από, apò = "lontano" e ήλιος, èlios = "sole") è il punto di massima distanza di un corpo del sistema Solare (pianeta, asteroide, cometa, satellite artificiale, ecc.) dal Sole.
A seconda dell'eccentricità dell'orbita, la massima distanza corpo-sole e quella minima possono essere più o meno differenti dalla distanza media.
Per analogia, viene così chiamato anche l'analogo punto di massima distanza per un pianeta o una stella orbitanti attorno a una stella diversa dal Sole, anche se in tal caso si dovrebbe usare il termine apoastro. Nel caso di un corpo orbitante attorno alla Terra si usa apogeo.
Il punto di minima distanza è invece chiamato perielio. La linea immaginaria che unisce afelio e perielio è detta linea degli apsidi.
La posizione angolare dell'afelio sull'orbita dei vari pianeti è quasi fissa, si sposta molto lentamente (di alcune decine o centinaia di secondi d'arco al secolo), a causa dell'interazione gravitazionale con gli altri pianeti: questo effetto si chiama Precessione anomalistica (o precessione del perielio). La velocità precessionale di Mercurio è però significativamente maggiore di quella calcolata teoricamente in base alle leggi di Newton. Questa differenza fu spiegata da Albert Einstein come un effetto della teoria della relatività generale: ciò rappresentò una delle prime conferme sperimentali di questa teoria.

La Terra raggiunge il proprio afelio il 4 luglio circa. La distanza della terra dal sole in questo punto è di 152,1 milioni di Km (2,5 milioni di Km più della sua distanza media).

 


In astronomia, il perielio (dal greco peri = intorno, helios = sole) è il punto di minima distanza di un corpo del Sistema solare (pianeta, asteroide, cometa, satellite artificiale, ecc.) dal Sole. È pertanto un apside.
A seconda dell'eccentricità dell'orbita, la minima distanza corpo-sole e quella massima possono essere più o meno differenti dalla distanza media.
Per analogia, viene chiamato perielio anche l'analogo punto di minima distanza per un corpo (pianeta od una stella, ecc.) orbitanti attorno ad una stella diversa dal Sole, anche se in tal caso si dovrebbe usare il termine periastro. Nel caso di un corpo orbitante attorno alla Terra si usa perigeo.
Viceversa il punto di massima distanza è chiamato invece afelio. La linea immaginaria che unisce afelio e perielio è detta linea degli apsidi.
La posizione angolare del perielio lungo l'orbita dei vari pianeti si sposta molto lentamente (di alcune decine o centinaia di secondi d'arco al secolo), a causa dell'interazione gravitazionale con gli altri pianeti: questo effetto si chiama precessione anomalistica o precessione del perielio.
La velocità precessionale di Mercurio è però significativamente maggiore di quella calcolata teoricamente in base alle leggi di Newton. Questa differenza fu spiegata da Albert Einstein come un effetto della teoria della relatività generale: ciò rappresentò una delle prime conferme sperimentali di questa teoria.

Nel caso della Terra, il perielio dista circa 147 milioni di chilometri dal Sole, 2.5 milioni di chilometri meno della distanza media. La Terra vi transita nel mese di gennaio, mediamente 13 giorni dopo il solstizio d'inverno. Nell'anno 2010 il perielio è stato raggiunto il 3 gennaio (00 UT).

 

 


La precessione degli equinozi
E' noto a tutti che la terra ruota su se stessa e contemporaneamente percorre una traiettoria ellittica intorno al Sole. Questi due moti, detti rispettivamente di rotazione e di rivoluzione, sono i più conosciuti ed importanti del nostro pianeta, e tra l'altro determinano l'alternarsi del giorno e della notte ed il ciclo delle stagioni (quest'ultimo è anche conseguenza dell'inclinazione dell'asse terrestre); non sono però gli unici, in quanto l'interazione gravitazionale con gli altri corpi del sistema solare, unita al fatto che il nostro pianeta non ha forma perfettamente sferica, è causa di altri moti minori. Di questi, il più importante è la precessione degli equinozi, che consiste nella variazione dell'orientazione dell'asse terrestre rispetto ad un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse. Si usa in genere paragonare questo moto a quello di una comune trottola (fig. 1); il principio fisico è infatti lo stesso: per effetto dell'azione di una forza esterna, l'asse di rotazione ruota intorno ad un altro asse, che nel caso della Terra è la normale all'eclittica mentre nel caso della trottola è la direzione della forza peso, mantenendo costante l'angolo relativo. La durata di un ciclo completo di precessione, ovvero il tempo che l'asse di rotazione impiega per compiere un giro intorno all'altro asse, per il nostro pianeta è di circa 25.700 anni.


Il moto di precessione della Terra paragonato a quello di una comune trottola

Il moto di precessione dell'asse terrestre ha diverse conseguenze: lo spostamento dei poli celesti, lo spostamento dei punti equinoziali lungo l'eclittica (da cui deriva il nome di precessione degli equinozi), la diversa durata del ciclo delle stagioni (anno tropico) rispetto all'anno siderale.

Scoperta della precessione
La scoperta della precessione è di solito attribuita a Ipparco di Nicea o Rodi (fig. 2)(ca. 190 a.C. - ca. 120 a.C.), astronomo greco fra i maggiori dell'antichità, anche se da alcuni è stata avanzata l'ipotesi che il fenomeno potesse essere già noto agli astronomi di culture precedenti, come i babilonesi o gli egizi. Nessuno degli scritti di Ipparco ci è pervenuto direttamente, ma diverse sue opere sono menzionate da Tolomeo nell'Almagesto. In particolare la scoperta della precessione è descritta in "sullo spostamento dei punti solstiziali e equinoziali" (Almagesto III.1 e VII.2). Ipparco misurò le coordinate eclittiche (λ,β) della stella Spica (α Virginis) durante un'eclisse di Luna e trovò che essa si trovava a circa 6° ad ovest del punto dell'equinozio d'autunno (punto Omega, che si trova esattamente a 180° dal punto dell'equinozio di primavera o punto Gamma, rispetto al quale solitamente si misurano le longitudini). Confrontando i suoi dati con quelli, risalenti a 144 anniprima, dell'astronomo babilonese Timocharis, egli trovò che la latitudine β era rimasta invariata, mentre la longitudine λ era cresciuta di circa 2°. Tale variazione di λ e costanza di β fu ben presto riscontrata in altre stelle prossime all'eclittica (la cui longitudine era più facile da misurare). Le spiegazioni possibili erano due: o le stelle si erano spostate tutte insieme dello stesso angolo oppure era stato il punto di riferimento usato per le misure, il punto equinoziale Gamma, a spostarsi. Dalla variazione di 2° della longitudine e dalla costanza della latitudine in un arco temporale di 144 anni, Ipparco dedusse che il punto Gamma si era spostato lungo l'eclittica in verso retrogrado, ovvero verso Ovest, di circa 46″ all'anno (il valore reale è 50″,3 per anno). Nella concezione geocentrica di Ipparco e Tolomeo, la precessione venne spiegata in termini di movimento della sfera delle stelle fisse, che ruoterebbe lentamente attorno ai poli dell'eclittica. Ma perché Ipparco aveva bisogno di un'eclisse di Luna per effettuare le sue misure? Egli aveva sviluppato un metodo che gli consentiva di sapere in ogni momento le coordinate del Sole; la Luna al culmine di un'eclisse è esattamente a 180° dal Sole, per cui una misura dell'arco longitudinale separante il centro della Luna da Spica permetteva di ricavare la distanza fra Spica ed il Sole e di conseguenza le sue coordinate. La prima interpretazione della precessione come conseguenza della variazione dell'orientazione dell'asse terrestre si deve a Copernico (de revolutionibus orbium coelestium (1543): la retrogradazione di Gamma è dovuta alla rivoluzione dell'asse attorno alla normale al piano eclittico, mantenendo costante l'angolo relativo di 23°27′. La spiegazione fisica della precessione in termini di interazione gravitazionale fra la Terra e gli altri corpi del Sistema Solare, in particolare la Luna ed il Sole, è dovuta a Isaac Newton (philosophiae naturalis principia mathematica (1687)). La teoria di Newton esposta nei Principia prevedeva anche che il moto di precessione fosse accompagnato da lievi oscillazioni periodiche sia della velocità di retrogradazione che della obliquità, oscillazioni dette collettivamente nutazione, dovute al fatto che le forze agenti sulla Terra non sono costanti. Tali oscillazioni furono poi effettivamente osservate dall'astronomo inglese Bradley nella prima metà del XVIII secolo. Esse avevano però ampiezza molto maggiore di quanto aveva previsto Newton; il fisico inglese aveva infatti sottostimato il contributo della Luna alla precessione. La trattazione matematicamente rigorosa dei moti di precessione e nutazione si deve ai matematici del XVIII secolo, fra i quali spiccano i nomi di D'Alembert e Eulero.

Spiegazione della precessione
Come già anticipato, il moto di precessione avviene a causa della forza di gravità e del fatto che la Terra non è perfettamente sferica: a causa del moto di rotazione, essa infatti ha assunto una forma approssimabile ad un ellissoide di rotazione schiacciato ai poli. Fu Newton il primo ad intuire il legame fra la forma della Terra ed il fatto che essa possiede un moto di precessione. Seguiamo il suo ragionamento, concentrando per il momento l'attenzione soltanto sull'interazione fra la Terra ed il Sole. Consideriamo innanzitutto il caso in cui la Terra sia perfettamente sferica ed abbia simmetria radiale; supponiamo quindi che la sua densità ρ sia dipendente solo dalla distanza dal centro e non dalla longitudine o latitudine.


Interazione gravitazionale Sole-Terra nel caso di Terra suppostaperfettamente sferica; a causa della simmetria si ha solo il moto di rivoluzione

Come si vede in figura 3, per ogni punto P della sfera, sul quale il Sole esercita una forza F (più propriamente P è un piccolo volumetto dV che contiene la massa dm = ρdV), è possibile prendere un punto Q, simmetrico rispetto alla congiungente Terra-Sole, posto alla stessa distanza dal Sole e sul quale quindi agisce la stessa forza F. La forza agente su P tende a causare sia una traslazione che una rotazione della Terra, rispettivamente verso il Sole e intorno al centro di massa terrestre; la forza agente su Q tende a causare una uguale traslazione verso il Sole ma una rotazione uguale ed opposta. La conseguenza dell'applicazione simultanea di entrambe le forze è una forza risultante applicata nel centro di massa, che causa soltanto una traslazione, mentre non induce alcuna rotazione. Ragionando alla stessa maniera per tutti i punti che compongono la sfera, prendendoli cioè opportunamente a coppie, si avrà che la risultante delle forze di attrazione esercitate dal Sole sui volumetti di materia che compongono la Terra sarà una forza applicata nel centro di massa, che causa il moto di rivoluzione, senza alcuna rotazione. La forza esercitata dal Sole non altera quindi in alcun modo la rotazione propria della Terra, che continua indisturbata con la stessa velocità ed orientazione dell'asse. La situazione è diversa se si considera la Terra non perfettamente sferica; in questo caso l'ellissoide di rotazione si può schematizzare come composto da una sfera interna più un rigonfiamento equatoriale.


A causa del rigonfiamento equatoriale, la forza di attrazione gravitazionale del Sole tende a far ruotare la Terra intorno ad un asse
che in generale giace sul piano equatoriale

Per quanto riguarda i punti interni alla sfera, valgono le considerazioni svolte precedentemente: essi contribuiscono solo al moto di rivoluzione. Sia P invece un punto del rigonfiamento equatoriale: come si vede nella figura, in questo caso il punto simmetrico rispetto all'asse Terra-Sole non appartiene al rigonfiamento, per cui non si ha la compensazione osservata in precedenza. Consideriamo il punto Q, simmetrico rispetto al centro della Terra, e valutiamo le forze agenti su P e Q. Il punto P è più vicino al sole, e quindi la forza F1 esercitata su di esso sarà maggiore rispetto alla forza F2 agente su Q. Le due forze in questo caso sono equivalenti ad una forza applicata nel centro di massa più una coppia di forze che tende a far ruotare la Terra. Sommando i contributi di tutti i punti del rigonfiamento equatoriale, il risultato complessivo è una forza risultante che contribuisce al moto di rivoluzione più una coppia il cui momento giace sul piano equatoriale. Nelle figure sono riportate le posizioni relative di Terra e Sole nei giorni dei solstizi; come si vede, in entrambi i casi la coppia di forze tende a riportare il piano dell'equatore sul piano dell'orbita, ovvero a ridurre l'inclinazione dell'asse terrestre.


Interazione gravitazionale Sole-Terra; situazione al solstizio d'estate. La grandezza più importante per
quantificare l'azione della coppia è il momento M, il cui modulo vale M=Fxb (b è il braccio della coppia, definito
come la distanza fra le rette sulle quali giacciono le 2 forze)


Figura 5b Interazione gravitazionale Sole-Terra; situazione al solstizio d'inverno

La coppia di forze non è però sempre uguale nel tempo: il suo momento è massimo ai solstizi e nullo agli equinozi, assumendo valori intermedi negli altri periodi. Ma perché l'asse terrestre precede, invece di orientarsi semplicemente nella direzione ortogonale al piano dell'orbita? A questo proposito paragoniamo nuovamente il moto della Terra a quello di una comune trottola: se sulla trottola agisce la forza di gravità, notiamo che tale forza tende a farla cadere ed essa effettivamente cade, a meno che non sia in rapida rotazione. E' la rotazione, dunque, che impedisce alla trottola di cadere ed alla Terra di disporsi con l'equatore parallelo al piano dell'orbita.

Precessione e nutazione
Come abbiamo detto in precedenza, il momento della coppia di forze che causa la precessione non è costante, ma varia da un minimo di zero ad un massimo in corrispondenza dei solstizi. In generale il momento si può considerare composto di due componenti: una, tangente al cono descritto dall'asse terrestre, che causa la precessione, ed un'altra che tende a far avvicinare o allontanare l'asse alla normale al piano dell'orbita (dipende da come l'asse è orientato rispetto al Sole). Questa
componente causa una oscillazione periodica dell'inclinazione dell'asse intorno al valore medio di 23°27′, che viene detta nutazione.


Figura 6 I moti di rotazione (verde), precessione (blu) e nutazione (rosso)

Precessione Luni-solare
Fino a questo momento abbiamo focalizzato l'attenzione sull'interazione gravitazionale Sole-Terra, e sul contributo di questa alla precessione. Però, contrariamente a quello che l'intuizione ci suggerisce, non è dal Sole che viene il contributo maggiore alla precessione, bensì dalla Luna. Infatti, anche se la forza esercitata dal Sole sulla Terra è di circa 2 ordini di grandezza maggiore rispetto a quella esercitata dalla Luna, non è la forza di attrazione gravitazionale in sé a determinare la precessione, ma il fatto che essa varia da punto a punto, essendo massima per le regioni della Terra più vicine al Sole (rispettivamente alla Luna) e minima per quelle più lontane. La precessione dipende quindi dal gradiente della forza gravitazionale. Come è noto, la forza di attrazione gravitazionale fra due corpi di massa m1 ed m2 posti a distanza r
è data dalla legge di gravitazione universale:


Si dimostra che se una forza è inversamente proporzionale a r2, come è il caso della forza gravitazionale, allora il gradiente sarà inversamente proporzionale a r3. Il fatto che la distanza del Sole dalla Terra sia quasi 500 volte maggiore della distanza Luna-Terra fa si che il contributo del Sole alla precessione sia inferiore a quello della Luna. Considerando soltanto l'apporto del Sole, la velocità di precessione sarebbe di 15″,8 per anno, a fronte di un valore totale di 50″,3 per anno. I termini dovuti ai pianeti, fra i quali il maggiore è quello di Venere, sono trascurabili per cui si usa l'espressione "precessione luni-solare". Anche per quanto riguarda la nutazione, il contributo principale viene dalla Luna e non dal Sole; il moto di nutazione complessivo è molto complesso, comprendendo numerosi termini fra i quali uno periodico con il semi-anno solare ed uno con il semi-mese lunare. Il termine più importante, che sfuggì all'analisi di Newton, è dovuto al fatto che il piano dell'orbita lunare è inclinato rispetto all'eclittica, formando con essa un angolo di 5°,14, e che tale piano precede rispetto all'eclittica con un periodo di 18,6 anni; la linea dei nodi, ovvero l'intersezione del piano dell'orbita lunare con l'eclittica, vista dal Polo Celeste Nord appare ruotare in senso orario, compiendo un giro completo in 18,6 anni. Di conseguenza anche la coppia lunare varia con lo stesso periodo, causando la cosiddetta nutazione principale, scoperta da Bradley.


La precessione del piano dell'orbita lunare è la causa della nutazione principale

Conseguenze della precessione cambiamento della Stella Polare
Polaris, α Ursae Minoris, è una stella ben nota anche ai non esperti di astronomia, ma sua fama non è certo dovuta alla sua grande brillantezza: essa, infatti, occupa soltanto la 48esima posizione nella classifica delle stelle più brillanti, con una magnitudine apparente di 1.97 (variabile). Presso tutti i popoli dell'emisfero Nord, Polaris è però conosciuta come la stella che indica il Nord, la Stella Polare, la più vicina al Polo Celeste Nord (PCN), la stella che rimane pressoché immobile mentre tutte le altre appaiono ruotare nel cielo notturno. Ma Polaris non occupa da sempre quella posizione privilegiata, né la occuperà per sempre in futuro, e questo proprio a causa della precessione. I Poli celesti sono infatti le intersezioni del prolungamento dell'asse terrestre con la sfera delle stelle fisse; se l'orientazione dell'asse cambia allora cambiano anche le posizioni dei poli. L'asse si muove lentamente e va a puntare stelle diverse, che assumono via via il ruolo di "stelle polari", assegnato alla stella più brillante che sia prossima al PCN in una data epoca.


Posizioni del Polo Celeste Nord (i numeri indicano le date). Il PCN nel corso di un ciclo
di precessione descrive un cerchio intorno al polo dell'eclittica

Per esempio nel 3000 a.C. la stella polare era la debole Thuban, nella costellazione del Dragone; con una magnitudine di 3.67 era cinque volte più debole della polare di oggi. Nel 14000 d.C. l'asse terrestre punterà in direzione di Vega, che con la sua magnitudine di 0.03 sarà la stella più brillante ad assumere il ruolo di stella polare, anche se la sua distanza minima dal PCN non sarà inferiore ai 5°. In altre epoche il PCN cadrà in regioni di cielo povere di stelle brillanti, così come accade ai nostri giorni per il Polo Sud celeste, cosicché non ci sarà un'unica stella a servire da riferimento per individuare il Nord. Ma cosa vedrebbe un ipotetico osservatore capace di scrutare il cielo per millenni? La sfera delle stelle fisse, oltre a ruotare intorno ai poli celesti (per effetto della rotazione terrestre), gli apparirebbe compiere una lenta rotazione intorno ai poli dell'eclittica, per tornare dopo 25700 anni nella posizione iniziale.

Spostamento dei punti equinoziali
I punti equinoziali Gamma (equinozio di primavera o punto vernale o primo punto d'Ariete) ed Omega (equinozio d'autunno o punto di Libra) sono definiti come le intersezioni dell'eclittica con l'equatore celeste. La precessione degli equinozi influisce sulla posizione dell'equatore celeste, lasciando invece invariata l'eclittica: così come l'asse terrestre, anche il piano dell'equatore celeste precede intorno alla normale al piano eclittico, attraversando quindi regioni diverse della sfera celeste in epoche diverse. L'eclittica, invece, rimane stabile: le costellazioni zodiacali, attraversate dal Sole e dagli altri pianeti, sono sempre le stesse e dipendono dall'orientazione del piano dell'orbita dei pianeti rispetto alle stelle fisse, orientazione che si mantiene pressoché invariata nel tempo. A causa della mobilità dell'equatore celeste e stabilità dell'eclittica si ha che le loro intersezioni, ovvero i due punti equinoziali, si spostano lungo l'eclittica con velocità angolare uguale a quella della precessione dell'asse terrestre, ovvero 50″,3 all'anno. Essi percorrono l'intera eclittica in circa 25.700 anni, attraversando tutte le costellazioni zodiacali: il punto Gamma, per esempio, si trovava 5000 anni fa nella costellazione del Toro, nei pressi della stella Aldebaran; dopo essere transitato nella costellazione dell'Ariete, esso si trova ora in quella dei Pesci, e passerà nell'Acquario a partire dall'anno 2597 d.C.


La posizione del punto Gamma (in rosso) in tre epoche diverse. Attualmente si trova ancora nellacostellazione dei Pesci

Poiché il punto Gamma è usato ancora oggi come punto di riferimento per la misura delle coordinate degli oggetti celesti, il suo spostamento causa la variazione delle coordinate, sia eclittiche che equatoriali; per questa ragione i cataloghi stellari riportano l'epoca alla quale le coordinate si riferiscono. Attualmente l'epoca standard utilizzata è la J2000.0, che corrisponde all'1 Gennaio 2000. Lo spostamento dei punti equinoziali ha conseguenze anche nel campo dell'astrologia. Ai tempi di Tolomeo il punto Gamma si trovava al principio della costellazione dell'Ariete, al confine fra Toro e Ariete, da cui la denominazione di "primo punto d'Ariete"; risale a quel tempo la divisione della regione di cielo intorno all'eclittica nelle 12 costellazioni zodiacali così come le conosciamo oggi, che il sole attraverserebbe in un mese ciascuna (ignorando del tutto la tredicesima costellazione attraversata dal Sole, ovvero l'Ofiuco). In verità, sebbene ancora oggi si usa dire che i nati dal 21 Marzo al 20 Aprile siano "del segno dell'Ariete", questo non corrisponde più alla posizione del Sole, che transita in quel periodo nella costellazione dei Pesci; soltanto il 19 Aprile il Sole entra effettivamente in Ariete. Lo stesso vale per tutti i segni: il segno "effettivo" attraversato dal Sole è quello che precede il segno riportato negli oroscopi, per cui, ad esempio, il giorno dell'equinozio d'Autunno il Sole non entra nella costellazione della Bilancia ma si trova in quella della Vergine e così via.

Anno siderale e anno tropico
Comunemente intendiamo per anno il tempo che la terra impiega a compiere un giro intorno al Sole, ma in astronomia distinguiamo due diversi anni, l'anno siderale e l'anno tropico, che a causa della precessione hanno durata diversa fra loro. L'anno siderale è il tempo che il Sole impiega per ritornare nella stessa posizione rispetto alle stelle fisse della sfera celeste, ed è equivalente al periodo orbitale della Terra. L'anno tropico è invece il tempo che il Sole impiega a tornare nello stesso punto lungo l'eclittica rispetto ai punti equinoziali, e corrisponde quindi al ciclo delle stagioni. A seconda del punto che si sceglie, la durata dell'anno tropico varia leggermente; si usa effettuare una media su tutti i punti dell'eclittica (anno tropico medio). La differenza di definizione fra l'anno siderale e l'anno tropico rispecchia due modi diversi di misurare la lunghezza dell'anno utilizzati nell'antichità: il primo fa riferimento alla posizione delle stelle, il secondo all'altezza del Sole. La durata dei due anni, a causa della precessione, non è la stessa. I punti equinoziali si spostano infatti di 50",3 ogni anno, così il Sole ripassa per lo stesso punto dell'eclittica dopo aver percorso 360° - 55",3 anziché 360°. Ne segue che l'anno tropico dura circa 20 minuti in meno rispetto all'anno siderale, pari a circa un giorno ogni 70 anni. La durata media dell'anno siderale è di 365,25636 giorni (365g 6h 9m 10s) mentre quella dell'anno tropico è 365,2422 giorni (365g 5h 48m 45s). Il calendario Gregoriano, adottato da quasi tutti i paesi del mondo, si basa sull'anno tropico, in modo tale che l'inizio delle stagioni cada sempre negli stessi giorni e non sia invece variabile con gli anni.

 

 


Sistema di coordinate Altazimutali

Le coordinate orizzontali, chiamate anche coordinate altazimutali, dipendono dalla posizione relativa dell'osservatore rispetto all'astro e sono riferite all'osservatore, presupposto immobile rispetto alla Terra in movimento; quindi, per ogni astro (in movimento relativo rispetto alla Terra), variano continuamente nel tempo.

Si prendono come riferimenti:
l'orizzonte, ovvero la circonferenza massima che separa l'emisfero celeste visibile da quello non visibile.
ed il meridiano locale, la circonferenza massima passante per lo zenit dell'osservatore e per i poli, che incontra l'orizzonte nei punti Nord e Sud.

L'altezza (h) è la distanza angolare dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90° e +90°.
L'azimut (A) è la distanza angolare tra il punto Nord e il piede dell'astro, è misurata in senso orario e varia tra 0° e 360°.
Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat.

Le semicirconferenze massime comprendenti i punti di un dato azimut si chiamano verticali.

A volte, al posto dell'altezza si usa la distanza zenitale (z), che è la distanza angolare dell'astro dallo zenit dell'osservatore e che varia da 0° a 180°. Pertanto z è l'angolo complementare di h, infatti z + h = 90°.


Sistema di coordinate equatoriali orarie

Si assume come come piano fondamentale non l'orizzonte ma il piano dell' equatore celeste, che è il paino normale all' asse di rotazione terrestre. Al posto dello ZENIT si individua il POLO CELESTE nei cui pressi è situata la stella Polare (Alfa Ursa Minor).
Le coordinate sono:
- δ = declinazione (distanza angolare dell'astro dall'equatore celeste - Positiva diretta verso il polo Nord celeste e negativa se verso il Polo Sud). Si misura in gradi.
- H = Anglo orario: distanza angolare, misurata sull'equatore celeste a partire da meridiano celeste passante per l'osservatore e l'astro. Anche l'angolo orario varia nel tempo a causa del moto di rotazione della Terra. L'angolo orario si misura in ore, minuti e secondi e va da 0 a 12 ore negative verso est e da 0 a 12 ore positive verso ovest.


Sistema di coordinate equatoriali celesti

Il piano fondamentale di riferimento è sempre l'equatore celeste, ma viene modificato l'origine delle misurazioni.
Le coordinate sono: 
- δ = declinazione (misura la distanza angolare di un oggetto in direzione perpendicolare all´equatore celeste, positiva verso nord, negativa verso sud. Ad esempio, il polo nord celeste ha una declinazione di +90°).
α = Ascensione retta: distanza angolare, misurata in ore, minuti e secondi, in direzione Est, tra il punto di origine indicato come punto gamma (γ) o primo punto di Ariete ed il punto di intersezione del suddetto cerchio massimo con l'equatore celeste.
Il punto gamma (γ) è il punto dove il piano dell'eclittica incrocia l'equatore celeste da Sud a Nord e dove viene a trovarsi il Sole all'equinozio di primavera (Coluro degli equinozi). E' il sistema usato nelle osservazioni in quanto completamente svincolato dal moto terrestre.
Tra Equatoriali orarie ed Equatoriali celesti esiste la relazione: H = TS - a

Sistema di coordinate dell' ecclittica

Il sistema utilizza come cerchio fondamentale l' eclittica, che giace in un piano inclinato rispetto all'equatore celeste di 23°,5. Si definisce longitudine eclittica (l) la distanza angolare di un astro lungo l'eclittica, dal punto gamma all'intersezione con il meridiano dell'eclittica (circolo massimo passante per il Polo Eclittico e l'astro) 
Si definisce  latitudine eclittica (b ) la distanza angolare dell'astro dal piano dell'eclittica, positiva se diretta verso nord e negativa se diretta verso sud. 
Sistema molto utilizzato per lo studio dei moti planetari.


Sistema di coordinate galattiche

Questo sistema, definito nel 1958,  è usato quando occorre definire la posizione di un astro rispetto alla nostra Galassia. 
Il sistema di riferimento scelto è il Piano Galattico definito come il piano di simmetria dello strato di Idrogeno rivelato dalle radiazioni a 21 cm ed acquisite con i telescopi.

Le coordinate galattiche prendono come piano di riferimento quello galattico, che forma un angolo di 62°41' con l'equatore celeste, e come direzione di origine quella del centro galattico e collocato nella costellazione del Sagittario (α=17h 42m 30s, e δ=-28°55'18″).

Questo riferimento permette di definire un polo nord ed un polo sud galattico tramite la direzione normale al piano galattico e passante per il Sole.

La normale al piano galattico incontra la sfera celeste nei due poli galattici. Il polo Nord galattico all'equinozio 1950 si trovava nella costellazione "Chioma di Berenice" alle coordinate:
a = 12h 49,0m
δ  = + 27° 24'
Questo punto si sposta annualmente di.
D a = + 0',73
δ 0',33

Si definiscono quindi una longitudine galattica (l) ed una latitudine galattica (b), entrambe misurate in gradi.

La latitudine galattica è misurata sui cerchi massimi passanti per i poli e varia da b=-90° (polo sud galattico) a b=+90° (polo nord galattico).

La longitudine galattica varia da l = 0° (centro della galassia) a l = 360° ed è crescente nel verso di rotazione della Via Lattea (vista dal polo nord la longitudine cresce in senso antiorario).




La sfera celeste

 

 

Coordinate Altazimutali

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Coordinate equatoriali

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In astronomia l' elongazione di un pianeta è data dall'angolo formato tra il Sole e il pianeta, visto dalla Terra.
Quando un pianeta interno (Mercurio o Venere) è visibile dopo il tramonto, si dice che è vicino alla sua massima elongazione est.
Viceversa, quando un pianeta interno è visibile prima dell'alba, si dice che è vicino alla sua massima elongazione ovest. Il valore della massima elongazione (ovest o est), per Mercurio, è compreso fra 18° e 28°, per Venere tra 45° e 47°.
Questi valori variano perché le orbite dei pianeti sono ellittiche: sarebbero costanti se fossero circolari. Un altro contributo, seppur su scala minore, a questa variazione è dovuto alla differente inclinazione dei due pianeti fra di loro e rispetto al piano dell'eclittica.
Per quanto riguarda le massime elongazioni storiche dei due pianeti è possibile consultare appositi siti che riportano le tavole astronomiche relative all'evento.
Nel 2009, Venere ha avuto la sua max elongazione est il 14 gennaio e la sua max ovest il 5 giugno. Per Mercurio, rispettivamente la massima elongazione est si è verificata nei giorni 4 gennaio, 26 aprile, 24 agosto e 19 dicembre, e quella ovest invece si è verificata nei giorni 13 febbraio, 13 giugno, 13 ottobre e il 27 gennaio 2010.
L'evento di massima elongazione dei pianeti interni accade periodicamente, con le due rispettive elongazioni (est e ovest) che si alternano fra loro. Il periodo con il quale ricorrono le massime elongazioni dipende dalla velocità angolare relativa del pianeta rispetto alla Terra, vista dal sole. Il tempo necessario a completare il suddetto periodo è detto periodo sinodico del pianeta.
Detto T il periodo (ad esempio il tempo che intercorre fra due successive elongazioni orientali), ω la velocità angolare relativa, ωe la velocità angolare della Terra e ωp la velocità angolare del pianeta, si ha:

Dove Te e Tp sono rispettivamente i periodi della Terra e del relativo pianeta, o meglio i loro rispettivi Anni siderali (periodo di rivoluzione attorno al sole).
Per esempio, l'anno venusiano (o periodo siderale venusiano) è di 255 giorni, e quello della terra è notoriamente di 365 giorni. Dunque il periodo sinodico di Venere (ipotizzando per semplicità entrambe le orbite di Venere e della Terra perfettamente circolari e complanari), è di 584 giorni, che è poi il tempo che intercorre fra due elongazioni dello stesso orientamento: questo vuol dire che deve passare più di un anno affinché Venere possa esser vista, ad esempio, dopo il tramonto, che è un orario comodo per le osservazioni.
Questo valore è approssimato perché le orbite non sono né perfettamente circolari, né tanto meno complanari. Peraltro, in virtù della III legge di Keplero, quando un pianeta è prossimo al Sole si muove più velocemente di quando ne è più lontano, senza ignorare peraltro il contributo dovuto ai moti di precessione (che incidono in maniera molto minore, pressoché trascurabile), per cui la determinazione esatta della data e dell'ora delle elongazioni richiede una più accurata analisi delle rispettive meccaniche orbitali dei pianeti interni e della terra.
Pianeti esterni, Pianeti nani e asteroidi seguono dei cicli differenti. Dopo una congiunzione superiore, l'elongazione dell'orbita dell'oggetto continua ad aumentare fino a quando non si avvicina a un valore massimo superiore a 90° (impossibile per un pianeta interno), tipicamente molto più vicino a 180°, fenomeno conosciuto in Meccanica celeste come opposizione, che permette in pratica al pianeta stesso di essere visibile durante tutta la notte e corrisponde a una congiunzione eliocentrica con la Terra. In altre parole, per un osservatore solidale a un pianeta esterno in opposizione con la Terra, la Terra appare in congiunzione inferiore con il Sole. Tecnicamente, l'istante esatto di opposizione è leggermente diverso dal relativo istante di massima elongazione. L'opposizione è definita come l'istante nel quale la longitudine ellittica apparente del pianeta esterno e quella del Sole differiscono fra loro di 180º; questa definizione non tiene conto del fatto che le orbite non sono complanari. Per esempio, l'orbita di Plutone, oltre che essere fortemente eccentrica, è anche molto inclinata rispetto al piano dell'eclittica, in modo da avere la massima elongazione per un angolo molto minore di 180º, cioè molto prima dell'opposizione.
Tutti i pianeti superiori sono più facilmente visibili alla loro opposizione perché sono vicini al perigeo e sono visibili al di sopra dell'orizzonte per tutta la notte. La variazione nella magnitudine causata da variazioni nella elongazione sono maggiori quanto più l'orbita del pianeta è vicina a quella della Terra. Ad esempio la magnitudo di Marte cambia abbastanza significativamente in funzione dell'elongazione: può raggiungere un minimo di +1,8 durante una congiunzione prossima all'afelio, ma in rare opposizioni più favorevoli, può scendere fino a -2,9, cioè 75 volte più luminosa che al valore minimo. La massima e la minima luminosità di Giove differiscono solo di un fattore 3,3, ancor meno per Urano - che è il più lontano pianeta del sistema solare ancora osservabile ad occhio nudo- la cui differenza di magnitudo si aggira intorno a 1,7 volte.
Poiché alcuni asteroidi hanno un'orbita non molto più grande di quella della terra, la loro magnitudo può variare fortemente durante l'elongazione. Anche se almeno una dozzina di oggetti della fascia principale possono essere osservati con un binocolo da 10x50 durante una tipica opposizione, solo Cerere e Vesta sono sempre al di sopra del limite di +9,5 a piccole elongazioni.
In fisica e precisamente in meccanica, si definisce elongazione la distanza tra un corpo che oscilli di moto armonico e il centro dell'oscillazione.
Un'oscillazione armonica è descritta dalla seguente equazione, considerata x la posizione lungo la direzione del moto, A l'ampiezza dell'oscillazione, ω = 2πν la pulsazione o velocità angolare (in cui ν è la frequenza), t è il tempo, è l'angolo di fase iniziale, t0 il tempo iniziale e x0 la posizione centrale o centro dell'oscillazione (posizione nella quale l'energia cinetica del corpo è massima e la sua energia potenziale minima):

dove sin rappresenta la funzione trigonometrica seno (che naturalmente potrebbe essere tranquillamente sostituita dalla funzione coseno).
L'elongazione istantanea sarà quindi data da x(t) − x0.
Poiché il seno di un angolo può assumere valori compresi tra -1 e 1, la posizione x sarà sempre compresa tra x0 − A e x0 + A. La distanza massima sarà dunque A e cioè l'elongazione massima dell'oscillazione.