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La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.
Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che non matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gradi Radianti

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario, dato che è un numero puro, da non confondere con l'unità di misura della dose di radiazione assorbita) è l'unità di misura degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza spazzato dall'angolo, e la lunghezza del raggio di tale circonferenza.
Questa unità di misura è usata in particolare in trigonometria, in goniometria e nel calcolo infinitesimale,

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo, e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo ℓ la lunghezza di tale arco, r quella del raggio, c quella della circonferenza e α l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.
Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

si può scrivere la seguente proporzione

α risulta funzione di ℓ:

ovvero

da cui

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Dunque, ponendo  = r, dall'equazione precedente si ottiene:

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

infine dalla proporzione:

si ottiene:

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Conversione Gradi Radianti - Gradi Sesagesimali

Un radiante è pari a 180/π gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per 180/π:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Triangolo Rettangolo

Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l'angolo formato da due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90° (o π/2 radianti). Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. L'ipotenusa è per il teorema di Pitagora pari alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.
Il triangolo rettangolo rappresenta un caso particolare di triangolo generico, per cui molte relazioni fondamentali si semplificano. Il caso più particolare è quello del triangolo rettangolo isoscele, caso per il quale

Aggiungendo a un triangolo rettangolo il triangolo ottenuto con la sua riflessione rispetto all'ipotenusa si ottiene un aquilone. Aggiungendogli il triangolo ottenuto sottoponendolo alla rotazione di π intorno al punto medio dell'ipotenusa si ottiene il rettangolo per il quale l'ipotenusa è diagonale principale.
Dal triangolo rettangolo isoscele con entrambe le costruzioni si ottiene il quadrato di lato a = b.


Teorema di Pitagora


Primo Teorema di Euclide

Secondo Teorema di Euclide


Proprietà angoli interni

Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180° (π rad), nel caso particolare di un triangolo rettangolo, sapendo che uno degli angoli interni è retto allora è facile dedurre che la somma degli altri due angoli interni vale sempre 90°:

Da questa proprietà si può, di conseguenza dedurre che qualora venga tracciata l'altezza del triangolo rettangolo con origine nell'angolo retto essa divide tale angolo in due angoli minori, chiamati ad esempio θ e ω. Inoltre si vengono a formare due triangoli rettangoli distinti (ACH e BCH) con un cateto in comune, l'altezza appunto.
Per la proprietà descritta sopra possiamo dire che:
Considerando il Triangolo Rettangolo BCH, per la proprietà vista sopra:

Ora consideriamo il triangolo ABC completo:

da cui deduciamo la proprietà:

Analogamente possiamo osservare che:

β = ω


Classi di Similitudine

Ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo rettangolo in un triangolo rettangolo e quindi è utile considerare le classi di similitudine dei triangoli rettangoli. Esse si possono rappresentare fedelmente con i triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa c di lunghezza 1 e il vertice opposto appartenente a una delle semicirconferenze aventi come diametro l'ipotenusa. La collezione delle classi di similitudine si può parametrizzare con il rapporto a/b delle lunghezze dei cateti ovvero con uno dei due angoli non retti, ad esempio con l'angolo α relativo al vertice A. La trigonometria dice che:

Un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso

Un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente ad esso

 

 

 

 

Triangolo qualsiasi

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Teorema dei Seni

Considerato un triangolo qualsiasi di lati ab e c, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:


Teorema del Coseno (Carnot)

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo da essi formato.


Teorema della Corda

Data una circonferenza e una corda AB, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:


Teorema delle Proiezioni

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:


Teorema di Nepero


Formule di Addizione e Sottrazione

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di Addizione

Formule di Sottrazione


Formule di Duplicazione


Formule di Prostaferesi

In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine greca, prosthesis (πρόσθεσις) e aphaeresis (ὰφαίρεσις), che significano rispettivamente somma e sottrazione.
Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia è probabile che fossero già, almeno parzialmente, note in precedenza.
Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce ad una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata.
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner.

Prima formula di Prostaferesi

Seconda formula di Prostaferesi

Terza formula di Prostaferesi

Quarta formula di Prostaferesi

Formule di Prostaferesi per la tangente

Formule di Prostaferesi per la cotangente


Formule di bisezione

dove x = alfa


Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.
Le formule in realtà forniscono i valori per il semi-angolo interno. Per ricavare le formule per sapere i valori trigonometrici relativi all'angolo intero basta applicare a queste le formule di duplicazione.

a,b,c = lati del triangolo
p = semiperimetro

Utilizzando la formula di duplicazione per il seno si ha: